对偶四元数矩阵的特征值与奇异值

$m$ 个机器人在 $n$ 个时间点的位姿可由一个 $m \times n$ 对偶四元数矩阵表示。本文研究对偶四元数矩阵的光谱理论。我们为方阵对偶四元数矩阵引入右特征值和左特征值。若一个右特征值为对偶数，则它也是左特征值。在此情形下，该对偶数称为该对偶四元数矩阵的特征值。我们证明对偶四元数Hermitian矩阵的右特征值为对偶数，因此它们是特征值。一个 $n \times n$ 对偶四元数Hermitian矩阵恰有 $n$ 个特征值。它分别是半正定或正定的，当且仅当其所有特征值分别为非负或对偶正数且可辨（appreciable）的对偶数。我们给出对偶四元数Hermitian矩阵的一个酉分解，以及一般对偶四元数矩阵的奇异值分解。对偶四元数矩阵的奇异值为非负对偶数。