Caputo 分数阶导数的二阶逼近

当 0<α<1 时，Caputo 导数的逼近 $y^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{\Gamma(2-\alpha)h^\alpha}\sum_{k=0}^n \sigma_k^{(\alpha)} y(x-kh)+O\bigl(h^{2-\alpha}\bigr)$，其中 $\sigma_0^{(\alpha)} = 1$，$\sigma_n^{(\alpha)} = (n-1)^{1-a}-n^{1-a}$，且 $\sigma_k^{(\alpha)} = (k-1)^{1-\alpha}-2k^{1-a}+(k+1)^{1-\alpha}$，$(k=1...,n-1)$，其精度为 $O\bigl(h^{2-\alpha}\bigr)$。我们利用 $\sum_{k=0}^n k^\alpha$ 的展开式来确定阶数为 $2-\alpha$ 的分数阶积分的逼近，以及 Caputo 导数的二阶逼近 $y^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{\Gamma(2-\alpha)h^\alpha}\sum_{k=0}^n \delta_k^{(\alpha)} y(x-kh)+O\bigl(h^{2}\bigr)$，其中 $\delta_k^{(\alpha)} = \sigma_k^{(\alpha)}$（$2\leq k\leq n$），$\delta_0^{(\alpha)} = \sigma_0^{(\alpha)}-\zeta(\alpha-1)$，$\delta_1^{(\alpha)} = \sigma_1^{(\alpha)}+2\zeta(\alpha-1)$，$\delta_2^{(\alpha)} = \sigma_2^{(\alpha)}-\zeta(\alpha-1)$，且 $\zeta(s)$ 为 Riemann zeta 函数。计算了分数阶松弛方程和次扩散方程的数值解。