分级网格上 Caputo 导数的高阶逼近及非光滑解的时间分数阶扩散方程

本文针对涉及解在初始时刻奇异性的 Caputo 型时间分数阶扩散方程，提出了一种高阶逼近方法。首先，我们采用基于拉格朗日多项式插值的数值算法在非一致网格上逼近 Caputo 导数。随后得到分级网格上该逼近的截断误差阶与最优分级常数分别为 $\min\{4-\alpha,r\alpha\}$ 与 $\frac{4-\alpha}{\alpha}$，其中 $\alpha\in(0,1)$ 为分数阶导数阶数，$r\geq 1$ 为网格分级参数。利用这一新逼近，构建了分级时间网格上 Caputo 型时间分数阶扩散方程的差分格式。证明该格式对一般 $r$ 唯一可解。继而导出了均匀网格上格式的无条件稳定性。分析了该格式对非光滑解的收敛性，并对光滑解给出结论。最后，通过若干数值算例进行误差分析，验证了格式的精度。