Caputo分数阶导数的三点紧致逼近

本文推导了分数阶积分的梯形逼近与 Caputo 导数的 $L1$ 逼近的四阶渐近展开式。我们利用 $L1$ 逼近的展开式得到 Caputo 导数的三点紧致逼近 \begin{equation*} \dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)h^\alpha}\sum_{k=0}^{n} \delta_k^{(\alpha)} y_{n-k}=\dfrac{13}{12}y^{(\alpha)}_n-\dfrac{1}{6}y^{(\alpha)}_{n-1}+\dfrac{1}{12}y^{(\alpha)}_{n-2}+O\left(h^{3-\alpha}\right), \end{equation*} 其权重为 $\delta_0^{(\alpha)}=1-\zeta(\alpha-1),\; \delta_n^{(\alpha)}=(n-1)^{1 -\alpha}-n^{1-\alpha},$ $$\delta_1^{(\alpha)}=2^{1-\alpha}-2+2\zeta(\alpha-1),\; \delta_2^{(\alpha)}=1-2^{2-\alpha}+3^{1-\alpha}-\zeta(\alpha-1),$$ $$\delta_k^{(\alpha)}=(k-1)^{1-\alpha}-2k^{1-a}+(k+1)^{1-\alpha},\quad (k=3\cdots,n-1),$$ 其中 $y$ 是满足 $y'(0)=0$ 的可微函数。讨论了分数阶弛豫方程和时间分数阶次扩散方程的数值解。