Toeplitz+Hankel 行列式渐近分析的黎曼-希尔伯特方法

本文中，我们将针对 Toeplitz+Hankel 行列式及相关的正交多项式组构造 $4\times4$ 黎曼-希尔伯特问题，其中 Hankel 符号支撑在单位圆上，也支撑在区间 $[a,b]$（$0<a<b<1$）上。本工作的显著特征是，在黎曼-希尔伯特问题的构造中不对 Toeplitz 与 Hankel 符号间作任何特定关系假设。我们将发展非线性最速下降法来分析这些问题，适用于符号光滑（即无 Fisher-Hartwig 奇异性）且在单位圆邻域（若符号支撑为单位圆）可解析延拓的情形。我们最终将引入一个模型问题并给出其解，该解要求 Hankel 与 Toeplitz 符号之比满足一定条件。这进而使我们能求出相应正交多项式范数 $h_n$ 的渐近性，事实上还有多项式本身的大 $n$ 渐近。我们将解释这一可解情形如何关联于 [Basor E., Ehrhardt T., in Large Truncated Toeplitz Matrices, Toeplitz Operators, and Related Topics, Oper. Theory Adv. Appl., Vol. 259, Birkh"auser/Springer, Cham, 2017, 125-154, arXiv:1603.00506] 中近期针对 Toeplitz+Hankel 行列式的算子论方法。文末我们讨论未来工作前景，并概述若干技术性与概念性问题，将在本文引入的 $4\times 4$ 黎曼-希尔伯特框架下后续处理。