子因子量子双重体的 CFT 实现注记：指标 < 4 情形

众所周知，有限深度子因子 $N\subset M$ 的量子双重体 $D(N\subset M)$，或等价地，偶部分融合范畴的 Drinfeld 中心，是一个酉模张量范畴。因此它应出现在共形场论中。我们证明，对于指标 $[M:N]<4$ 的每个子因子 $N\subset M$，量子双重体 $D(N\subset M)$ 可实现为完全有理共形网（completely rational conformal net）的表示范畴。特别地，$E_6$ 的量子双重体可实现为 $\mathrm{SU}(2)_{10}\times \mathrm{Spin}(11)_1$ 的 $\mathbb Z_2$-单流扩展（simple current extension），从而在任何意义上都不是奇异的。作为副产品，我们得到了每个此类子因子的顶点算子代数。我们通过证明若子因子 $N\subset M$ 源于完全有理网 $\mathcal A\subset \mathcal B$ 的 $\alpha$-诱导，且存在一个具有相反编织（opposite braiding）的网 $\tilde{\mathcal A}$，则量子双重体 $D(N\subset M)$ 由完全有理网实现，从而得到该结果。我们构造了具有 $\mathrm{SU}(2)_k$ 相反编织的完全有理网，并利用了所有指标 $[M:N]<4$ 的子因子均由 $\mathrm{SU}(2)_k$ 的 $\alpha$-诱导产生这一熟知事实。