偏立方体的立方多项式与其交叉图的团多项式之间的关系

偏立方体是可嵌入超立方体的图。图 $G$ 的{\em 立方多项式}（cube polynomial）是 $G$ 的诱导超立方体的计数多项式，定义为 $C(G,x):=\sum_{i\geqslant 0}\alpha_i(G)x^i$，其中 $\alpha_i(G)$ 是 $G$ 的诱导 $i$-立方体（维数为 $i$ 的超立方体）的个数。 $G$ 的{\em 团多项式}（clique polynomial）定义为 $Cl(G,x):=\sum_{i\geqslant 0}a_i(G)x^i$，其中 $a_i(G)$（$i\geqslant 1$）是 $G$ 中 $i$-团的数量，且 $a_0(G)=1$。等价地，$Cl(G, x)$ 正是 $G$ 的补图 $\overline{G}$ 的独立多项式。偏立方体 $G$ 的{\em 交叉图} $G^{\#}$ 是以 $G$ 的 $\Theta$-类为顶点构成的图，两个 $\Theta$-类在 $G^{\#}$ 中相邻当且仅当它们在 $G$ 中交叉。本文中，我们证明对偏立方体 $G$，有 $C(G,x)\leqslant Cl(G^{\#}, x+1)$，且等号成立当且仅当 $G$ 是中位图（median graph）。由于每个图都可表示为某个中位图的交叉图 [SIAM J. Discrete Math., 15 (2002) 235--251]，上述充要条件表明对中位图立方多项式的研究可转化为对一般图团多项式（等价地，对其补图独立多项式）的研究。此外，我们反驳了中位图立方多项式是单峰的猜想。