通过不可描述性对 Ramsey 层级的精细化

若对基数 $\kappa$ 的子集 $S$，对于任意满足对所有 $a\in[S]^{<\omega}$ 有 $f(a)<\min a$ 的函数 $f:[S]^{<\omega}\to \kappa$，均存在势为 $\kappa$ 的 $H\subseteq S$ 为 $f$ 的\emph{齐次}集（即对每个 $n<\omega$，$f\upharpoonright[H]^n$ 为常数），则称 $S$ 是 Ramsey 的。Baumgartner 证明了 \cite{MR0384553}：若 $\kappa$ 是 Ramsey 基数，则 $\kappa$ 的非 Ramsey 子集族是 $\kappa$ 上的正规理想。Sharpe 与 Welch \cite{MR2817562} 以及独立地 Bagaria \cite{MR3894041} 将 $\Pi^1_n$-不可描述性（$n<\omega$）的概念推广到 $\Pi^1_\xi$-不可描述性（$\xi\geq\omega$）。我们研究由 Ramsey 性质导出的大基数性质与理想，其中要求齐次集是 $\Pi^1_\xi$-不可描述的。通过在各种 $\Pi^1_\xi$-不可描述性理想上迭代 Feng 的 Ramsey 算子 \cite{MR1077260}，我们得到了新的大基数层级及相应的非线性递增的正规理想层级。我们完整给出了所得理想间的包含关系，并证明相应的大基数性质给出了 Feng 原始 Ramsey 层级的严格线性精细化。我们还证明：给定任意序数 $\beta_0,\beta_1<\kappa$，分别在 $\Pi^1_{\beta_0}$-不可描述性理想与 $\Pi^1_{\beta_1}$-不可描述性理想上迭代 Ramsey 算子所得的理想递增链最终相等；此外，我们确定了该相等发生的最小 Ramsey 度。作为应用，我们证明可用泛型初等嵌入刻画我们的新大基数概念及相应理想；作为特例，这给出了 $\Pi^1_\xi$-不可描述性与 Ramsey 性的泛型嵌入刻画。