$\Sigma_1(\kappa)$ 可定义的 $\mathrm{H}(\kappa^+)$ 子集

我们在大基数存在下研究 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义集（即等于满足某个带参数 $\omega_1$ 的 $\Sigma_1$-公式的所有集合之收集）。我们的结果表明，一个 Woodin 基数及其上一个可测基数的存在蕴含：实数的良序均非 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义，$\omega_1$ 的所有平稳子集之集非 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义，且 ${}^{\omega_1}\omega_1$ 的每个 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义 Bernstein 子集的补集非 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义。相反，我们证明 Woodin 基数的存在与 $\mathrm{H}({\omega_2})$ 的 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义良序之存在以及 ${}^{\omega_1}\omega_1$ 的 $\Delta_1(\omega_1)$-可定义 Bernstein 子集之存在是相容的。我们还证明，若存在无穷多个 Woodin 基数及其上一个可测基数，则 $\omega_1$ 上 club 滤子的 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义均匀化不存在。此外，我们假设存在可测基数且 $\omega_1$ 上的非平稳理想饱和，证明了 ${}^{\omega_1}\omega_1$ 的 $\Sigma_1(\omega_1)$-可定义子集的完美集定理。这些结果的证明使用了迭代泛型超幂与 Woodin 的 $\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$-力迫。最后，我们还对 $\Sigma_1(\kappa)$-可定义的 ${}^{\kappa}\kappa$ 子集，在 $\kappa$ 自身具有某些大基数性质的情形下，证明了其中若干结果的变体。