可识别集与Woodin基数：可构造宇宙之外的计算

我们称一个序数 $\lambda$ 的子集是可识别的，如果它是 $\lambda$ 的唯一子集 $x$，使得某个具有序数时间与带、对所有 $\lambda$ 的子集作为输入均停机的图灵机以最终状态 $0$ 停机。等价地，这样的集合是在 $L[x]$ 中满足给定 $\Sigma_1$ 公式的唯一子集 $x$。我们证明了关于由序数时间图灵机从序数参数可识别的序数集的若干结果。值得注意的是，我们从大基数给出了以下结果。(1) 可计算集是 $L$ 的元素，而具有无限时间计算的可识别对象出现直至 Woodin 基数的层级。(2) 一个可数序数 $\lambda$ 的子集属于 $\lambda$ 的子集的可识别闭包，当且仅当它是 $M^{\infty}$ 的元素，其中 $M^{\infty}$ 表示通过序数迭代 $M_1$ 的最小测度得到的内模型，且 $\lambda$ 的子集的可识别闭包是通过对 $\lambda$ 的子集的相对可识别性取闭包定义的。