含 Woodin 基数的内模型中的 HOD

我们分析 $M_n(x)[g]$ 中的遗传序数可定义集 $\operatorname{HOD}$，其中 $x$ 属于一个图灵锥（Turing cone）的实数，$M_n(x)$ 是建立在 $x$ 之上的具有 $n$ 个 Woodin 基数的典型内模型，$g$ 是 $M_n(x)$ 上关于其底部不可达基数的 L\'evy 坍缩的泛型。我们证明，在假设 $\boldsymbol\Pi^1_{n+2}$-决定性下，对图灵锥中的实数 $x$，有 $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]} = M_n(\mathcal{M}_{\infty} | \kappa_\infty, \Lambda)$，其中 $\mathcal{M}_\infty$ 是 $M_{n+1}$ 迭代的直接极限，$\delta_\infty$ 是 $\mathcal{M}_\infty$ 中最小的 Woodin 基数，$\kappa_\infty$ 是 $\mathcal{M}_\infty$ 中高于 $\delta_\infty$ 的最小不可达基数，$\Lambda$ 是 $\mathcal{M}_{\infty}$ 的偏迭代策略。还将表明，在同一假设下 $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]}$ 满足 $\operatorname{GCH}$。