由 $\omega_1$ 的强紧性导出的决定性

在没有选择公理的情况下，“小”基数 $\omega_1$ 可以表现出通常与大基数相关的性质，例如强紧性和超紧性。对于强紧性的局部版本，我们说 $\omega_1$ 是 $X$-强紧的（其中 $X$ 是任意集合），如果在 $\mathcal{P}_{\omega_1}(X)$ 上存在一个精细的、可数完备的测度。在 $\mathsf{ZF} + \mathsf{DC}$ 中工作，我们证明了 $\omega_1$ 的 $\mathcal{P}(\omega_1)$-强紧性和 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$-强紧性分别与 $\mathsf{AD}$ 和 $\mathsf{AD}_\mathbb{R} + \mathsf{DC}$ 等一致，其中 $\mathsf{AD}$ 表示决定性公理，$\mathsf{AD}_\mathbb{R}$ 表示实决定性公理。$\omega_1$ 的 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$-超紧性被证明略强于 $\mathsf{AD}_\mathbb{R} + \mathsf{DC}$，但其一致性强度未被精确计算。我们还得到了在不带 $\mathsf{DC}$ 的 $\mathsf{AD}_\mathbb{R}$ 层次上的一个等一致性结果。