Tamari格中极大链的递归

Tamari格自Dov Tamari于1960年左右引入以来一直受到深入研究。然而奇怪的是，极大链数量的公式仍然未知。这很大程度上是因为第$n$个Tamari格$\mathcal{T}_{n}$中极大链的长度范围从$n-1$到${n \choose 2}$。在本文中，我们将格中的顶点视为Young图，并将极大链识别为特定的表。对于每个$i\geq-1$，我们定义$\mathcal{C}_{i}(n)$为$\mathcal{T}_{n}$中长度为$n+i$的极大链的集合。我们给出了$\#\mathcal{C}_{i}(n)$的递归公式以及基于预定初始值的显式公式。该公式是$n$的$3i+3$次多项式。例如，$\mathcal{T}_{n}$中长度为$n$的极大链的数量为$\#\mathcal{C}_{0}(n)={n \choose 3}$。该公式具有组合解释，涉及极大链的一个特殊性质。