一类拟线性传输问题及其在具无散度 $\mathcal D$-场的 Maxwell 方程中的应用

无自由电荷时的 Maxwell 方程要求初始数据具有无散度位移场 $\mathcal D$。在 $\mathcal D=\mathcal D(\mathcal E)$ 依赖关系为非线性的材料中，因此需解拟线性问题 $\nabla\cdot\mathcal D(\mathcal E)=0$。在许多应用中（例如波包建模），采用电场 $\mathcal E$ 的近似渐近 ansatz，其仅在 $t=0$ 时满足该散度条件至一个小的残差。我们随后寻找该 ansatz 的一个小修正以在 $t=0$ 强制 $\nabla\cdot\mathcal D(\mathcal E)=0$，并选取此修正为梯度场形式。在 $\mathcal D(\mathcal E)$ 中为幂型非线性的通常情形下，这导出 Laplace 与 $p$-Laplace 算子之和。我们也允许介质由两种不同材料组成，从而产生跨界面的传输问题。我们证明了一类一般非线性下修正项的存在性，并给出其导数的正则性估计，且与原始 ansatz 的 $L^2$-范数无关。以此方式，当应用于波包情形时，修正项确实渐近小于原始 ansatz。我们也提供数值实验以支持我们的分析。