二维球面的一个性质

很自然地会问:是否存在一个合理的常数 $k$,使得面积为 1 的二维球面上任何面积大于 $k$ 的开集都包含一个正四面体的顶点。我们将证明,取 $k=3/4$ 是充分的。事实上,我们将证明一个更一般的结果。感兴趣的读者不难证明 $3/4$ 是具有此性质的最好常数。