带电液滴运动的先验估计：基于自由边界欧拉方程的动力学方法

我们研究三维带电液滴的运动，其运动方程由带电场且具有自由边界的欧拉方程给出。这是物理学中一个著名的问题，可追溯到 Rayleigh 的开创性工作。由于实验和数值模拟，人们预期带电液滴会形成称为 Taylor 锥的锥形奇点，我们将其解释为流动的奇点。在本文中，我们研究解的适定性、正则性以及奇点的形成。我们的主要定理粗略地表明，如果流动在形状上保持 C^{1,\alpha}-正则且速度保持 Lipschitz 连续，则假设初始数据光滑，流动保持光滑，即时空中的 C^{\infty}。由于 Taylor 锥的出现，我们预期 C^{1,\alpha}-正则性假设是最优的，而速度上的 Lipschitz 正则性假设在经典欧拉方程理论中是标准的。我们还通过高阶能量估计量化了 C^{\infty}-估计。该结果对于无电场的自由边界欧拉方程也是新的。我们指出本文不考虑存在性问题，将在后续工作中研究。