参数化 $C^2$ 曲面上 Laplace-Beltrami 算子的后验误差估计
数值分析
2019-02-18 v2
摘要
我们证明了曲面有限元方法（SFEM）的新的后验误差估计。曲面 FEM 逼近定义在曲面上的 PDE 的解。典型例子是涉及 Laplace-Beltrami 算子的椭圆型 PDE。通常曲面由多面体或高阶多项式逼近来近似。所得 FEM 既表现出因曲面逼近引起的几何一致性误差，也表现出标准 Galerkin 误差。SFEM 的后验估计需要实际获取曲面的几何信息，以可计算地界定几何误差。因此，在证明 SFEM 后验误差估计时，允许实际代码中表示曲面具有最大灵活性是有利的。然而，先前使用一般参数化曲面表示的后验估计在 曲面上低一阶。最优反映几何误差的误差估计证明反而采用最近点投影，其使用符号距离函数定义。由于最近点投影在计算上往往不可用或不便使用，使用符号距离函数的后验估计具有显著的实际局限性。我们通过仅假设实际可获取曲面的一般参数化表示，但将距离函数作为理论工具使用，来融合这两种视角。这使我们能够推导更尖锐的几何估计量，其在自适应曲面有限元算法中实现时表现出改善的实验观测衰减率。
引用
@article{arxiv.1802.01625,
title = {A posteriori error estimates for the Laplace-Beltrami operator on parametric $C^2$ surfaces},
author = {Andrea Bonito and Alan Demlow},
journal= {arXiv preprint arXiv:1802.01625},
year = {2019}
}