曲面上 Laplace-Beltrami 方程的虚拟元方法

我们提出并分析了一种用于 $\mathbb{R}^3$ 中曲面上 Laplace-Beltrami 方程的任意多项式阶 $k\in\mathbb{N}$ 的虚拟元方法 (VEM)。该方法结合了曲面有限元方法 (SFEM) [Dziuk, Elliott, \emph{Finite element methods for surface PDEs}, 2013] 和近期的 VEM [Beirao da Veiga et al, \emph{Basic principles of Virtual Element Methods}, 2013]，以处理任意的多边形和/或非协调网格。我们考虑了由几何近似引起的误差，并将虚拟元函数空间中插值和投影的误差估计推广到曲面上。在线性虚拟元 $k=1$ 的情形下，我们证明了数值方法的 $H^1$ 最优误差估计。所提出的方法能够处理当两个或多个网格沿一条直线拼接时通常出现的非协调网格。数值实验验证了收敛性结果，并展示了网格拼接的一个应用。