图二聚体熵的一个正性性质

无限二分格上的单体 - 二聚体系统的熵可以写为平均场部分加上二聚体密度中的级数展开。在先前的一篇论文中，有人猜想该级数的所有系数均为正。类似地，在具有 $v$ 个顶点的连通正则图上，图的“熵”${\rm ln} N(i)/v$（其中 $N(i)$ 是在图上放置 $i$ 个二聚体的方法数）可以写为仅依赖于完成图上二聚体构型数量的部分加上图上二聚体密度中的牛顿级数。在本文中，我们研究了哪些连通正则图的牛顿级数的所有系数均为正（简称为正图）。在连通正则二分图类中，直至 $v=20$，唯一的非正图具有度为 $3$ 的顶点。从 $v=14$ 到 $v=30$，$3$-正则图中正性违反的频率随 $v$ 的增加而降低。在连通 $4$-正则二分图的情况下，首次违反出现在 $v=22$ 的 $2806490$ 个图中的两个图中。我们猜想，对于每个度 $r$，在 $r-$正则二分图类中，违反的频率随着 $v$ 趋于无穷大而趋于零。这种图正性性质可以扩展到非正则或非二分图。我们检查了大量尺寸为 $N_x \times N_y$ 的矩形网格，包括开边界条件和周期边界条件。我们仅观察到 $min(N_x, N_y) = 3$ 或 $4$ 时存在正性违反。