随机正则二部图在很大参数范围内满足弱维里正性

我们研究具有 $2n$ 个顶点的 $r$-正则二部图。在先前的一篇论文中，Butera、Pernici 和作者引入了一个量 $u(i)$，$u(i) = -\ln(i!m\_i)$，它是 $i$-匹配数 $m\_i$ 的函数，并猜想违反 $\Delta^k u(i) > 0$（对 $k > 1$）的图所占比例随着 $n$ 趋于无穷而消失。这里 $\Delta$ 是有限差分算子。我们现在更具体地将“维里正性猜想”定义为：对所有 $k > 1$ 和 $i$ 满足 $\Delta^k u(i)$ 趋于 0 的图所占比例随着 $n$ 趋于无穷而趋于 1 的猜想。而“弱维里正性猜想”是指：对每个 $i$ 和 $k > 1$，$\Delta^k u(i) > 0$ 的概率随着 $n$ 趋于无穷而趋于 $1$。之所以使用“维里”一词，是因为条件 $\Delta^k u(i) > 0$ 对应于无限正则格点上维里系数的正性。本文中我们证明了在参数范围 $r < 11$、$i+k < 101$、$1 < k < 28$，或 $i+k < 30$ 且所有 $r$ 下弱维里正性成立。由 Pernici 系统化的 Wanless 形式体系是此项工作的核心。本质上，本文是我们先前论文中针对图正性并行研究的推论。我们假定读者具备该先前论文的基础知识。