关于超分拆的首个正秩与 crank 矩的一个正性猜想

最近，Andrews、Chan、Kim 和 Osburn 引入了一个 $q$-级数 $h(q)$ 用于研究超分拆的首个正秩与 crank 矩。他们猜想对于所有整数 $m \geq 3$，\begin{equation*}\label{hqcon} \frac{1}{(q)_{\infty}} (h(q) - m h(q^{m})) \end{equation*} 对所有 $q$ 的幂具有正的幂级数系数。Byungchan Kim、Eunmi Kim 和 Jeehyeon Seo 给出了组合解释并用圆法证明了其渐近成立。在本注记中，我们证明若该猜想中 $m$ 为 $2$ 的任意正幂则成立，并且我们证明为了证明此猜想，只需证明对所有素数 $m$ 成立即可。此外我们给出了一个更强的猜想。我们的方法非常简单且与 Kim 等人完全不同。