反常霍尔效应方程的路径积分推导

在绝热条件 $|E_{n\pm1}-E_{n}|\gg 2\pi\hbar/T$ 下，其中 $T$ 为较慢系统的典型时间尺度，$E_{n}$ 为较快系统的能级，采用路径积分（拉格朗日形式体系）推导带贝里相位的反常霍尔效应的有效运动方程。在 $T\rightarrow {\rm large}$ 且能级本征值固定的传统绝热条件定义中，除初始正则对易子外，Bjorken-Johnson-Low 方案未对较慢变量定义任何对易关系。另一方面，在奇异极限 $|E_{n\pm1}-E_{n}|\rightarrow \infty$ 且特定 $E_{n}$ 保持固定（此时较慢变量 $X_{k}$ 的任何运动均可视为绝热）下，出现了具有形变对易子的非正则动力学系统以及能斯特效应。在基于正则对易关系的玻恩-奥本海默近似中，若使用辅助变量 $X_{k}^{(n)}=X_{k}+{\cal A}^{(n)}_{k}$（其中 ${\cal A}^{(n)}_{k}$ 为贝里联络）且不存在电磁矢量势 $eA_{k}(X)$，从而无能斯特效应，则可得到反常霍尔效应的运动方程。研究表明，在正则哈密顿形式体系中，贝里联络与电磁矢量势 $eA_{k}(X)$ 相关的规范对称性互不相容。具有能斯特效应的非正则动力学系统的出现，是将量子原理形变以纳入这两种不相容规范对称性的结果。