关于最优 Lennard-Jones N 体簇中最小成对距离的注记

对三维 Lennard-Jones N 体簇中最小成对距离 $r_{\rm{{min}}}(\mbox{LJ}_N^{\rm{gmin}})$ 进行良好的先验界限可以显著减少计算搜索空间，这是一个 NP-hard 问题，旨在找到该配置。本文利用维里定理来实现这一点。我们证明，如果配置 ${C}^{(N)}$ 是 $\mbox{LJ}_N^{\rm{equ}}$（平稳点）的成员，则 $r_{\rm{{min}}}({C}^{(N)}) \leq r_{\rm{{min}}}(\mbox{LJ}_2^{\rm{gmin}})$。还证明如果 ${C}^{(N)}\in$ LJ$_N^{\rm{gmin}}\subset$ LJ$_N^{\rm{equ}}$，则等式成立当且仅当 $N\in\{2,3,4\}$。我们推测 $r_{\rm{{min}}}(\mbox{LJ}_N^{\rm{gmin}}) >1$，以 $r_{\rm{{min}}}(\mbox{LJ}_2^{\rm{gmin}})= 2^\frac16 \approx 1.122462048$ 为单位。这个推测的下界如果正确，将比当前已知的最佳下界 $r_{\rm{{min}}}(\mbox{LJ}_N^{\rm{gmin}})\geq 0.767764$ 提高约 25%。在这些单位下，通过数值搜索发现的最小最小配对距离 LJ$_N^{\rm{gmin}}$ 于 $N\leq 1000$ 中是 $r_{\rm{{min}}}(\mbox{LJ}_{923}^{\rm{gmin}}) \approx 1.01361$，因此推测的下界可能接近最优。从维里定理我们得到一个表达式，适用于任何 ${C}^{(N)}\in \mbox{LJ}_N^{\rm{equ}}$，将 $r_{\rm{{min}}}({C}^{(N)})$ 表示为 ${C}^{(N)}$ 中相对距离分布的函数。这一结果揭示了与 Erd\H{o}s distance 及相关问题之间的有趣联系。