关于 Kesten--Grincevi\v{c}ius--Goldie 定理的注记

考虑永续方程 $X \stackrel{\mathcal{D}}{=} A X + B$，其中右侧的 $(A,B)$ 与 $X$ 相互独立。Kesten--Grincevi\v{c}ius--Goldie 定理指出，若 $E A^\kappa = 1$、$E A^\kappa \log_+ A < \infty$ 且 $E |B|^\kappa < \infty$，则 $P \{ X > x \} \sim c x^{-\kappa}$。我们假设对某个 $\nu > \kappa$ 有 $E |B|^\nu < \infty$，并考虑两种情况：(i) $E A^\kappa = 1$，$E A^\kappa \log_+ A = \infty$；(ii) $E A^\kappa < 1$，对所有 $t > \kappa$ 有 $E A^t = \infty$。我们表明，在对 $A$ 的适当附加假设下，渐近式 $P \{ X > x \} \sim c x^{-\kappa} \ell(x)$ 成立，其中 $\ell$ 是一个非常数慢变函数。我们使用了 Goldie 的更新理论方法。