关于图的永久零度与匹配数

对于具有 $n$ 个顶点的图 $G$，令 $\nu(G)$ 和 $A(G)$ 分别表示 $G$ 的匹配数和邻接矩阵。 $G$ 的永久多项式定义为 $\pi(G,x)={\rm per}(Ix-A(G))$。 $G$ 的永久零度，记为 $\eta_{per}(G)$，是 $\pi(G,x)$ 零根的重数。在本文中，我们利用 Gallai-Edmonds 结构定理推导出一个简洁公式，揭示了图的永久零度与匹配数之间的关系。此外，我们证明了图 $G$ 满足 $\eta_{per}(G)=0$ 的充要条件。作为应用，我们证明了每个含 $n$ 个顶点的单圈图 $G$ 满足 $n-2\nu(G)-1 \le \eta_{per}(G) \le n-2\nu(G)$，图的线图的永久零度为零或一，且因子临界图的永久零度恒为零。