关于Kodaira纤维化基本群的注记

Kodaira纤维化的基本群$\pi$由定义是一个曲面群$\Pi_b$对另一个曲面群$\Pi_g$的扩张，即$$1 \rightarrow \Pi_g \rightarrow \pi \rightarrow \Pi_b \rightarrow 1.$$ 反之，我们可以探究此类群需满足何种条件才能成为Kodaira纤维化的基本群。在本简短注记中，我们利用$\Pi_g$的共不变同调，收集了一些关于分类映射$m \colon \Pi_b \to \Gamma_g$的像的限制。特别地，我们观察到若$\pi$是相对不规则度为$g-s$的Kodaira纤维化的基本群，则$g \leq 1+ 6s$，并证明这有效地限制了$\pi$的可能选择，即存在上述群扩张不满足此界，因此不能成为Kodaira纤维化的基本群。特别地，这提供了不能接受K\"ahler结构的辛$4$流形例子，其原因避开了通常的阻碍。