关于广义 Dold 流形的等变配边的一点注记

设 $(X,J)$ 为一个几乎复流形,带有一个(光滑)对合 $\sigma:X\to X$ 使得 $Fix(\sigma)\neq \emptyset$。假设 $\sigma$ 是一个复共轭,即 $\sigma$ 的微分与 $J$ 反交换。空间 $P(m,X):=\mathbb{S}^m\times X/\!\sim$,其中 $(v,x)\sim (-v,\sigma(x))$,被称为广义 Dold 流形。假设群 $G\cong \mathbb Z_2^s$ 在 $X$ 上光滑作用,使得对所有 $g\in G$ 有 $g\circ \sigma =\sigma\circ g$。利用对角子群 $D=O(1)^{m+1}\subset O(m+1)$ 在球面 $\mathbb S^{m}$ 上的作用(其中仅有有限多对对径点被 $D$ 稳定),我们得到 $\mathcal G=D\times G$ 在 $\mathbb S^m\times X$ 上的一个作用,它下降到 $P(m,X)$ 上 $\mathcal G$ 的一个(光滑)作用。当 $G$ 在 $X$ 上的不动点集 $X^G$ 有限时,对 $\mathcal G$ 在 $P(m,X)$ 上的作用同样成立。本注记的主要结果是:等变配边类 $[P(m,X),\mathcal G]$ 为零当且仅当 $[X,G]$ 为零。我们在 $X$ 为复旗流形、$\sigma$ 为自然复共轭且 $G\cong (\mathbb Z_2)^n$ 包含于 $U(n)$ 的对角子群中时说明了这一结果。