关于对称三角形求积规则收敛性的注记

对称多项式三角形求积规则常用于有限元类问题中二维区域的高效积分。虽然此类规则的开发侧重于给定点数所能精确积分的最高次数，但光滑被积函数通常并非有限次多项式。因此，对于这类被积函数，需要在积分精度与计算成本之间取得平衡。实现这种平衡的一种自然方法是选择点数，使其关于网格尺寸 $h$ 的收敛速率与格式的其他属性相匹配，例如近似几何的平面或曲面三角形，或近似解的基函数。通常，一个能精确积分最高 $d$ 次多项式的求积规则，其积分误差预期为 $\mathcal{O}(h^p)$，其中 $p=d+1$。然而，正如本文所述，对于对称三角形求积规则，当 $d$ 为偶数时，$p=d+2$；因此，对于 $p$ 阶精度的求积规则，所需求积点更少，从而减少了有限元类问题中矩阵组装的时间。对于产生稀疏矩阵的局部微分算子，这种成本降低是适度的，但对于产生稠密矩阵的全局积分算子，则相当可观。本文简要总结了对称三角形求积规则的细节，讨论了一维和三角形求积规则的误差影响，并提供了数值算例，以支持我们的观察：对于规则网格序列，精确积分偶数最高次多项式的求积规则比传统预期收敛得更快。