关于常标量曲率收缩梯度Ricci脱泽 solitons 的刚性笔记

设$(M^n, g, f)$为$n$维完备非紧致梯度收缩Ricci脱泽 solitons，满足方程$Ric+\nabla^2f= \frac{1}{2}g$。1. 若其标量曲率为$\frac{k}{2}$，黎曼曲率非负且截面曲率上界为$\frac{1}{2(k-1)}$，则证明该Ricci脱泽是$\mathbb{R}^{n-k}\times \mathbb{S}^k$的有限商的等距图。2. 若$M$具有常标量曲率$R=\frac{n-2}{2}$，且每个$f$的水平集的Weyl曲率为零，则证明其为$\mathbb{R}^2\times \mathbb{S}^{n-2}$的有限商。这可视为对Cheng-Zhou四维结果的高维推广，由于当$n=4$时，势函数$f$的水平集的Weyl曲率自动为零。