关于向量带符号和的范数的一点注记

我们的出发点是改进 D. Hajela 的一个与 Komlós 问题相关的结论：我们证明若 $f(n)$ 是满足 $\lim\limits_{n\to\infty }f(n)=\infty$ 且 $f(n)=o(n)$ 的函数，则存在 $n_0=n_0(f)$，使得对任意 $n\geqslant n_0$ 及任意基数 $|S|\leqslant 2^{n/f(n)}$ 的 $S\subseteq \{-1,1\}^n$，可找到标准正交向量 $x_1,\ldots ,x_n\in {\mathbb R}^n$ 满足 $$\|\epsilon_1x_1+\cdots +\epsilon_nx_n\|_{\infty }\geqslant c\sqrt{\log f(n)}$$ 对所有 $(\epsilon_1,\ldots ,\epsilon_n)\in S$ 成立。在 $x_1,\ldots ,x_n$ 为欧氏单位球 $B_2^n$ 或任意对称凸体中均匀分布的独立随机点、且 $\ell_{\infty }^n$-范数替换为 ${\mathbb R}^n$ 上任意范数的情形下，我们得到了类似结果。