单位球面上均匀随机向量组成部分的指数浓度不等式

我们证明，如果 $\vec X = (X_1, \dots, X_N)$ 是单位欧几里得球面上的均匀随机向量，那么 $\sqrt N \vec X = (\sqrt N X_1, \dots, \sqrt N X_N)$ 的组成部分经验 CDF 在 $N$ 中对标准高斯 CDF $\Phi$ 进行指数级浓度。更精确地，我们找到显式函数 $\gamma$ 和 $g_\pm$，使得 $\sqrt N \vec X$ 组成部分的经验 CDF 与 $\Phi$ 之间的Kolmogorov-Smirnov距离偏离超过 $\epsilon + \gamma(t)$ 的概率最多为 $2e^{-2N\epsilon^2} + e^{-Ng_+(t)^2} + e^{-Ng_-(t)^2}$，其中 $\epsilon > 0$ 且 $t\in[0,1)$。作为推论，得到用线性函数取代 $\gamma$ 和 $g_\pm$ 的较弱但更清晰的不等式。所有函数和常数都是显式的，因此我们的界为统计应用提供了有限样本保证。