有界线性算子方程Petrov-Galerkin方法的非条件发散准则

Petrov-Galerkin方法常用于微分方程与积分方程 $Ax=b$ 的数值求解。通常人们考虑当 $b \in \mathcal{R}(A)$ 时的收敛性与误差分析，这使得方程可解。然而 $b \notin \mathcal{R}(A)$ 的情形常被忽视。本文研究当 $b \notin \mathcal{R}(A)$ 时Petrov-Galerkin方法的数值行为。一个自然的猜测是：当 $b \in \mathcal{R}(A)$ 时，由任意基的Petrov-Galerkin方法构造的相应近似解将发散至无穷。我们对具有稠密值域 $\mathcal{R}(A)$ 的有界线性算子方程证明了这一猜想，并给出了对值域 $\mathcal{R}(A)$ 未必稠密的有界线性算子方程更一般的发散结果。若干应用显示了其效力。