Petersen 定理的一个新证明

设 $M$ 为 Ricci 曲率 $\ge n-1$ 的 $n$ 维完备 Riemannian 流形。在 \cite{colding1, colding2} 中，Tobias Colding 通过发展一些新技术，证明了以下三个条件等价：1) $d_{GH}(M, S^n)\to 0$；2) $M$ 的体积 ${\text{Vol}}(M)\to{\text{Vol}}(S^n)$；3) $M$ 的半径 ${\text{rad}}(M)\to\pi$。在 \cite{peter} 中，Peter Petersen 通过发展一种不同的技术，给出了第四个等价条件，即他证明了 $M$ 的第 $n+1$ 个特征值 $\lambda_{n+1}(M)\to n$ 亦等价于 $M$ 的半径 ${\text{rad}}(M)\to\pi$，从而也等价于另外两个条件。在本文中，我们利用 Colding 的技术给出了 Petersen 定理的一个新证明。