Ljusternik-Schnirelmann理论的新框架及其在平面Choquard方程中的应用

我们考虑平面对数Choquard方程\n-Δu + a(x)u + (log|·| ∗ u²)u = 0, in ℝ²\n在强不定且可能退化的设定下，其中线性势a ∈ L^∞(ℝ²)不施加符号条件。特别地，我们证明了当a在ℤ²-平移下不变时，该问题存在一列高能量解。该结果推广到更一般的G-等变设定，为此我们发展了一种新的变分方法，使我们能够找到Ljusternik-Schnirelmann型的临界点。特别地，我们的方法解决了与对数Choquard方程相关的能量泛函Φ仅在子空间X ⊂ H¹(ℝ²)上有定义，且该子空间上的范数‖·‖_X不具有平移不变性的问题。新方法基于Cerami条件的新G-等变版本，以及适配于一族适当构造的标量积⟨·,·⟩_u（u ∈ X）的形变论证，这些标量积具有G-等变性质⟨g∗v, g∗w⟩_{g∗u} = ⟨v, w⟩_u。