Kuranishi 空间的新定义

'Kuranishi 空间'由 Fukaya, Oh, Ohta 和 Ono 在辛几何工作中引入（参见例如 arXiv:1106.4882），作为 $J$-全纯曲线模空间上的几何结构。Kuranishi 空间的一种替代方案是 Hofer, Wysocki 和 Zehnder 提出的'polyfolds'（参见例如 arXiv:1407.3185）。寻找令人满意的 Kuranishi 空间定义一直是近期争论的主题（参见例如 arXiv:1208.1340, arXiv:1209.4410, arXiv:1510.06849）。我们提出了三种新的 Kuranishi 空间定义：一个简单的'流形'版本，'$\mu$-Kuranishi 空间'，它们构成一个普通范畴 $\boldsymbol\mu\bf Kur$；一个更复杂的'流形'版本，'m-Kuranishi 空间'，它们构成一个弱 2-范畴 $\bf mKur$；以及一个'轨形'版本，'Kuranishi 空间'，它们构成一个弱 2-范畴 $\bf Kur$。这些定义通过范畴等价 $\boldsymbol\mu{\bf Kur}\simeq{\rm Ho}({\bf mKur})$ 相关联，其中 ${\rm Ho}({\bf mKur})$ 是 $\bf mKur$ 的同伦范畴，并通过满忠嵌入 ${\bf mKur}\hookrightarrow\bf Kur$ 相关联。我们还定义了带边界和带角的 ($\mu$-, m-)Kuranishi 空间。我们希望我们的定义能被接受为最终定义，取代以前的定义。任何 Fukaya-Oh-Ohta-Ono Kuranishi 空间 $\bf X$ 都可以唯一地（在 $\bf Kur$ 中等价，即在 ${\rm Ho}({\bf Kur})$ 中同构）转化为一个紧 Kuranishi 空间 $\bf X'$。这对于具有 Fukaya-Oh-Ohta-Ono'好坐标系'的拓扑空间，以及 McDuff 和 Wehrheim 在 arXiv:1508.01556 中的'Kuranishi 图集'同样成立。具有 Hofer, Wysocki 和 Zehnder 意义上的'polyfold Fredholm 结构'的紧拓扑空间 $\bf X$ 可以唯一地（在 $\bf Kur$ 中等价）转化为一个 Kuranishi 空间 $\bf X$。本书综述见于 arXiv:1510.07444。