Tucker 张量的一种新型交叉逼近及其在 Tucker-Anderson 加速中的应用

本文提出了两种与 Tucker 张量格式相关的新算法。第一种方法是 Tucker 张量的新型交叉逼近，我们称之为 Cross$^2$-DEIM。Cross$^2$-DEIM 是一种迭代方法，采用纤维采样策略，在每个模态中采样 $O(r)$ 条纤维，其中 $r$ 表示目标秩。纤维基于离散经验插值法（DEIM）进行选择。Cross$^2$-DEIM 类似于 Fiber Sampling Tucker Decomposition (FSTD)2 逼近，与文献中现有方法相比具有良好的计算缩放性。我们展示了 Cross$^2$-DEIM 在迭代次数和中间内存方面的良好性能。首先，我们设计了一个基于 Cross$^2$-DEIM 和快速傅里叶变换的快速直接泊松求解器。该求解器可独立使用，或作为椭圆问题低秩求解器的预条件器。第二种方法是通过 Anderson 加速（AA）求解 Tucker 格式非线性张量方程的低秩求解器，我们称之为 Tucker-AA。Tucker-AA 是我们先前工作中为非线性矩阵方程低秩解提出的低秩 AA（lrAA）的扩展。我们在 Tucker-AA 中采用 Cross$^2$-DEIM 进行热启动，以处理方程中的非线性。我们在 AA 中应用低秩操作，通过适当的秩截断策略，我们能够控制中间秩的增长。我们展示了 Tucker-AA 在三维非线性偏微分方程近似求解中的性能。