一种DEIM Tucker张量交叉算法及其在动态低秩近似中的应用

我们引入了一种Tucker张量交叉近似方法，通过稀疏采样其纤维来构造$d$维张量的低秩表示。这些纤维使用离散经验插值方法（DEIM）进行选择。我们提出的算法称为DEIM纤维采样（DEIM-FS）。对于$\mathcal{O}(N^d)$张量的秩-$r$近似，DEIM-FS仅需访问$dNr^{d-1}$个张量条目，这一需求随每个模式上的张量大小线性增长。我们证明，DEIM-FS能够达到接近通过高阶奇异值分解获得的Tucker张量近似的近似精度，而成本显著降低。我们还提出了DEIM-FS（迭代版本），它不需要访问目标张量展开的奇异向量，可视为一种黑盒Tucker张量算法。我们采用DEIM-FS来降低使用动态低秩近似（DLRA）求解非线性张量微分方程（TDE）的计算成本。当右端张量的精确秩很大时，求解DLRA方程的计算成本可能变得过高。这个问题出现在许多TDE中，特别是在涉及非多项式非线性的情况下，右端张量具有满秩。这需要存储和计算大小为$\mathcal{O}(N^d)$的张量。我们表明，DEIM-FS通过即时构造右端张量的低秩Tucker近似，为DLRA带来了显著的计算节省。使用DEIM-FS的另一个优点是，无论TDE的类型如何，都能显著简化DLRA方程的实现。我们通过几个示例（包括求解高维偏微分方程）证明了该算法的效率。