在低秩 Tucker 与 Tensor Train 流形上求解高维动力系统的交叉插值方法

我们提出了一种新颖的张量插值算法，用于在 Tensor Train 和 Tucker 张量低秩流形上对非线性张量微分方程进行时间积分，这些流形是许多张量网络分解的基础模块。本文建立在我们在之前工作（Donello 等，《Proceedings of the Royal Society A》，第 479 卷，2023 年）的基础上，该工作使用 CUR 分解在低秩矩阵流形上求解非线性矩阵微分方程。我们提出的方法具有多项优势： 通过基于离散经验插值方法的交叉算法，策略性地采样时间离散 TDE 的稀疏条目以低秩形式推进解，从而在内存和浮点运算方面提供近最优的计算节省。 数值演示表明，时间积分在存在小奇异值时具有鲁棒性。 开发了高阶显式 Runge-Kutta 时间积分格式。 该算法易于实现，因为它只需在策略性选定的条目处评估全阶模型，且不使用切空间投影，而切空间投影的高效实现是侵入式的。我们通过几个测试案例展示了所提算法的效率，包括一个用于演化大小为 $70^{100} \approx 3.2 \times 10^{184}$ 的张量的非线性 100 维 TDE，以及一个张量大小为 $4.7 \times 10^9$ 的随机平流-扩散-反应方程。