张量的低秩逼近

在数据压缩、成像或基因组数据分析等众多应用中，用一个可稀疏表示的张量来逼近给定张量至关重要。对于矩阵（即 2-阶张量），可通过奇异值分解获得此类表示，从而计算出最佳秩 k 逼近。对于非常大的矩阵，使用 SVD 进行低秩逼近在计算上不可行，此时可采用不同的逼近方法，其中 CUR 分解的变体似乎最为合适。对于阶数 d>2 的 d-模张量 T，已提出许多奇异值分解的推广形式以获取低张量秩分解。最合适的逼近似乎是最佳 (r_1,...,r_d)-逼近，它最大化 T 在子空间 U_1,...,U_d 的张量积上的投影的 l_2 范数，其中 U_i 是 r_i 维子空间。最常用的方法之一是交替最大化方法 (AMM)，它通过每次固定其他子空间、仅对一个子空间 U_i 进行最大化，并交替重复此过程（i=1,...,d）而得到。通常，AMM 会收敛到一个局部最佳逼近，该逼近是 Grassmann 流形上相应映射的不动点。我们提出一种 Newton 法来寻找该不动点。我们还讨论了张量的 CUR 逼近方法的变体。本文第一部分是关于张量低秩逼近的综述，第二部分是用于最佳 (r_1,...,r_d)-逼近的新 Newton 法。我们对不同的逼近方法进行了数值比较。