lrAA：低秩Anderson加速

本文提出了一种计算由非线性偏微分方程空间离散化产生的非线性矩阵方程的低秩解的新框架：低秩Anderson加速（lrAA）。lrAA是对Anderson加速（AA）的一种适配，AA是一种用于求解非线性不动点问题的著名方法，适配至低秩格式。特别地，lrAA以低秩形式执行所有线性和非线性运算，并通过自适应截断容差进行秩截断。我们提出了一种简单的调度策略，根据残差指示器在迭代过程中更新截断容差。这有效地控制了中间秩和迭代次数。为了对非线性函数进行秩截断，我们提出了一种新的交叉逼近方法，我们称之为Cross-DEIM，其基于离散经验插值方法（DEIM）具有自适应误差控制。Cross-DEIM在近似奇异值分解（SVD）和交叉逼近之间进行迭代更新。它自然地包含了对每个lrAA迭代的热启动策略。我们展示了lrAA在一系列线性和非线性问题上的优越性能，包括来自拉普拉斯方程的有限差分离散化、Bratu问题、椭圆Monge-Ampère方程和Allen-Cahn方程。