面向波动率控制的代理主问题新方法

Cvitani\'c、Possama"i 与 Touzi（2018）[9] 提出了一种针对连续时间代理主问题的通用方法，通过动态规划和二阶逆向随机微分方程（BSDE）来实现。本文提供了一种代理主问题的另一种表述方式，这种表述仅依赖于 BSDE 理论即可求解。这种重新表述深受 [9] 中重要注释的启发，即如果主体在连续时间观察到输出过程，则可对其二次方差进行路径上计算。而在 [9] 中，这一信息用于合同，我们的重新表述的做法是假设主体能够以“一线性”方式直接控制该过程。解决这一替代问题的求解方法实际上遵循了文献中所谓“Sannikov 技巧”的思路，最初由 Sannikov（2008）[28] 引入。随后，我们表明，这种“一线性”表述的解与原问题的解相同。更准确地说，我们使用 [9] 中引入的合同形式作为“惩罚合同”，指出即使主体无法直接控制二次方差，仍可实现这种“一线性”情景。尽管如此，我们不必依赖 2BSDE 理论来证明这些合同的最优性，因为它们的最优性是通过表明“一线性”情景得以实现来确保的。我们相信，这种更直接的解决连续时间带波动率控制的代理主问题的方法将促进这些问题在诸多领域的传播，并可推广到更复杂的问题。