Nash 分层不等式及其在二维一般域上的化学趋导-流体系统全局正则性

不可压流体输运被证明可通过混合增强扩散或维度约化效应抑制奇点形成，这在各种微分方程中均有所体现。为助力此类情景的研究，我们证明了经典 Nash 不等式的一种改进形式：$$\|f-f_M\|_{L^2}^2 \lesssim \|f-f_M\|_{L^1}^{8/7}\|\nabla f\|_{L^2}^{6/7} + \|\partial_1 f\|_{\dot{H}_0^{-1}}^{2\vartheta} \|f-f_M\|_{L^1}^{1-\vartheta}\|\nabla f\|_{L^2}^{1-\vartheta},$$其中 $f \in H^1$，$f_M$ 为其在光滑有界平面域上的均值，主要约束为水平横截面相连。右侧第一项遵循经典 Nash 标度，形式维度为 $3/2$。第二项引入混合范数，衡量 $f$ 远离分层程度。证明中给出显式指数 $0 < \vartheta \ll 1$。作为应用，我们研究二维抛物线-椭圆型 Patlak--Keller--Segel (PKS) 化学趋导模型，作用于上述较大类有界域。该聚扩散方程因大质量初始数据在有限域中已知会产生有限时间奇点。利用上述 Nash 分层不等式，我们证明当 PKS 方程通过浮力与服从达西定律的不可压孔隙介质流动相耦合时，变为全局正则。该结果适用于任意 $C^\infty$ 初始数据，远离微扰范畴，任意弱耦合强度。此外，空间域可包含“瓶颈”区域和曲率较大的边界段。论证概念化并推广了由 Hu、Yao 及首位作者于周期通道上作用于类似结果的最新工作。