基于 adjoint 方法的物理信息神经网络矩阵预条件化框架

物理信息神经网络 (PINNs) 最近因用于求解涉及偏微分方程 (PDE) 的正向和逆向问题而成为流行方法。相较于完全连接的神经网络，基于卷积神经网络的 PINNs 在硬性约束边界条件方面具有优势，并且降低了部分导数计算的计算成本。然而，后者在某些情境下仍面临收敛缓慢甚至失败的问题。本研究提出了一种矩阵预条件化方法以提高后者的收敛性。具体而言，我们结合自动微分和矩阵着色来计算 PDE 系统的雅可比矩阵，用于通过不完全 LU 分解构建预条件器。随后我们使用该预条件器对损失函数中的 PDE 残差进行缩放，以降低雅可比矩阵的条件数，这是提高 PINNs 收敛性的关键。为克服自动微分与三角求解在预条件化中的不兼容性，我们还设计了一个基于 adjoint 方法的框架来计算损失函数相对于网络参数的梯度。通过数值实验，我们验证了所提方法成功且高效地求解了多尺度问题和高雷诺数问题，其中 PINNs 无法获得满意的结果。