在单位域中求解：用于可微坐标变换PINN的JacobiNet
机器学习
2026-05-29 v3
摘要
物理信息神经网络(PINN)通过将物理定律嵌入学习过程，为求解偏微分方程(PDE)提供了强大的框架。然而，当应用于具有不规则边界的域时，PINN常常遭受不稳定和收敛缓慢的问题，这源于(1)几何各向异性导致的不一致归一化，(2)不精确的边界强制，以及(3)损失项竞争的不平衡。一种常见的解决方法是将该域映射到一个规则空间。然而，传统的映射方法依赖于特定于案例的网格，在预指定的固定节点上定义雅可比矩阵，并通过链式法则重新表述PDE——这使得它们与现代自动微分、基于张量的框架不兼容。为弥合这一差距，我们提出JacobiNet，一个基于学习的坐标变换PINN框架，它将域映射和PDE求解统一在一个端到端可微架构中。JacobiNet通过自动求导实现直接的雅可比矩阵计算，与下游PINN共享计算图，从而避免了特定于案例的网格划分、显式的雅可比矩阵计算/存储以及手动PDE重新表述，同时解锁了几何编辑操作。通过将物理建模与几何复杂性分离，JacobiNet (1)解决了原始各向异性坐标中的归一化挑战，(2)促进了边界条件的硬强制，以及(3)缓解了长期存在的损失项间不平衡问题。在各种PDE上的评估表明，JacobiNet将相对L2误差从0.11-0.73降低到0.01-0.09，实现了平均15.6倍的精度提升。在形状各异的血管状域中，JacobiNet能够对未见过的几何形状进行毫秒级的映射推理，将预测精度平均提升3.65倍，同时提供超过10倍的加速——展示了强大的泛化能力、准确性和效率。
引用
@article{arxiv.2508.02537,
title = {Solved in Unit Domain: JacobiNet for Differentiable Coordinate-Transformed PINNs},
author = {Xi Chen and Jianchuan Yang and Junjie Zhang and Runnan Yang and Xu Liu and Hong Wang and Tinghui Zheng and Ziyu Ren and Wenqi Hu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.02537},
year = {2026}
}
备注
Accepted by Journal of Computational Physics