基于矩阵的方法：线性薛定谔方程时空等高插值方法的稳定性分析
数值分析
2026-05-06 v2 数值分析
摘要
我们提出一种用于线性薛定谔方程的时空等高插值有限元方法，通过基于矩阵的分析建立其无条件稳定性。虽然最大正则性样条在时间上的插值相对于分段连续多项式在每自由度上的准确性更高，但其样条基的非局部支撑性质导致标准变分论证在稳定性证明中无法使用。为克服这一困难，我们展示该离散格式由一族近 Toeplitz 系统矩阵支配，通过研究这些矩阵的条件数，我们证明该族弱良条件，从而保证该方法的无条件稳定性。此外，离散格式在最终时刻保持质量和能量。数值实验确认我们的理论结果并展示该格式的最优收敛行为。最后，我们利用该公式与波方程最近的一种一阶时间时空等高插值方法之间的代数联系，推导了后者的完整基于矩阵的稳定性分析。
引用
@article{arxiv.2506.18859,
title = {A matrix-based approach to the stability of a space-time isogeometric method for the linear Schr\"odinger equation},
author = {Matteo Ferrari and Sergio Gómez},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.18859},
year = {2026}
}