二阶系统中轨迹优化的Legendre-Gauss伪谱配点法

伪谱配点法已被证明是解决最优控制问题的强大工具。虽然这些方法通常假设动力学以一阶形式给出 $\dot{x} = f (x, u, t)$，其中 $x$ 是状态，$u$ 是控制向量，但机器人系统通常由二阶常微分方程 $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$ 支配，其中 $q$ 是构型。为了将二阶常微分方程转换为一阶形式，通常的方法是引入速度变量 $v$ 并强制其与 $q$ 的时间导数一致。Lobatto方法通过构造保证了这一约束，因为它们描述 $v$ 轨迹的多项式是 $q$ 的多项式的时间导数，但Gauss和Radau方法则不能这样说。这对这些方法是有问题的，因为它们无法保证在配点处 $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$。在负面方面，Lobatto方法不能用于求解初值问题，因为给定配点处的 $u$ 值，它们会生成一个关于状态的超定方程组。在本文中，我们提出了一种Legendre-Gauss配点法，它保留了通常的Lobatto、Gauss和Radau方法的优点，同时避免了它们的缺点。我们提出的配点方案适用于求解初值问题，保持了 $v$ 和 $q$ 多项式之间的一致性，并确保了在配点处 $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$。