Barrett-Crane 自旋泡沫模型的拉格朗日方法

我们为量子引力的 Barrett-Crane 自旋泡沫模型提供了一个离散作用量原理，该原理由通常的 BF 项加上离散化的简单性约束组成，在连续极限下这些约束将拓扑 BF 理论转化为引力。该设定与文献中通常考虑的相同：时空被分割成 4-单纯形，联络描述了如何将这些 4-单纯形粘合在一起，作用量是依赖于每个三角形周围和乐的各项之和。我们在不相交的四面体上施加离散化的简单性约束，并展示了简单性约束的拉格朗日乘子如何扭曲平行移动和相邻 4-单纯形之间的关联。然后，我们利用 $\SU(2)$ 平面波之间的非交换乘积构造了离散化的 BF 作用量。我们展示了这如何自然地导出 Barrett-Crane 模型。这澄清了该模型的几何意义。我们讨论了该作用量原理的自然推广及其导出的自旋泡沫模型。我们展示了最近引入的自旋泡沫融合系数是如何在非平凡测度下出现的。特别地，我们通过弱化离散化的简单性约束恢复了 Engle-Pereira-Rovelli 自旋泡沫模型。最后，我们识别了 Plebanski 理论的两个扇区，并给出了非几何扇区中 Barrett-Crane 模型的类似物。