带记忆的热方程：长时间行为

我们研究了定义在$\mathbb{R}^N$上的带Caputo $\alpha$-时间导数的热方程解在所有$L^p$范数及不同时空尺度下的长时间行为。假设初值可积，并在需要时还属于$L^p$。分析中的一个主要困难来自当$N>1$时方程基本解在原点处的空间奇异性。在由方程标度不变性决定的特征尺度$|x|\asymp t^{\alpha/2}$下，$L^p$范数的衰减率为$t^{-\frac{\alpha N}{2}(1-\frac1p)}$。在紧集上，当$N=1$时为$t^{-\alpha/2}$，当$N\ge 3$时为$t^{-\alpha}$，在临界维数$N=2$时为$t^{-\alpha}\log t$。在趋于无穷但慢于$t^{\alpha/2}$的中间尺度下，我们有中间的衰减率。在快于$t^{\alpha/2}$趋于无穷的快尺度下，不存在对所有解都成立的普适衰减率，我们将通过一些例子加以说明。不过，在此类尺度下解衰减得比特征尺度下更快。当除以衰减率后，在特征尺度下解在长时间下表现得像$M$倍的基本解，其中$M$为初值数据的积分。在紧集上的情况则截然不同，当$N\ge 3$时它们收敛于初值数据的牛顿势（本文的主要新意之一），而当$N=1,2$时收敛于一个常数。在中间尺度下，当$N\ge 3$时它们逼近拉普拉斯算子的基本解的倍数，在低维时逼近一个常数。在趋于无穷快于特征尺度的尺度下的渐近行为强烈依赖于初值在无穷远处的性态。我们给出了某些具有特定衰减的初值数据的结果。