对称Lévy过程转移密度的几何解释

我们针对状态空间为 $\rn$ 的一类对称Lévy过程，通过两个单参数度量族 $(d_t)_{t>0}$ 和 $(\delta_t)_{t>0}$ 来研究其转移密度 $p_t(x)$。第一个度量族描述了对角项 $p_t(0)$；它由Lévy过程的特征指数 $\psi$ 通过 $d_t(x,y)=\sqrt{t\psi(x-y)}$ 导出。第二个新度量族 $\delta_t$ 通过公式 $$\exp(-\delta_t^2(x,y)) = \Ff[\frac{e^{-t\psi}}{p_t(0)}](x-y)$$ 与 $\sqrt{t\psi}$ 相关联，其中 $\Ff$ 表示傅里叶变换。由此我们得到了转移密度的如下“高斯”表示：$p_t(x)=p_t(0) e^{-\delta_t^2(x,0)}$，其中 $p_t(0)$ 对应于与 $\sqrt{t\psi}$ 相关的体积项，而“指数”衰减由 $\delta_t^2$ 控制。这给出了 $p_t(x)$ 的一个完整且新颖的几何内蕴解释。