一个泛函不等式与Riccati对：Hardy型不等式的另一种途径

我们给出黎曼流形上的一个泛函不等式，分加性与乘性两种形式，由此可导出已知及全新的Hardy型不等式。对加性版本，我们引入Riccati对，推广了Ghoussoub与Moradifam所发展的Bessel对(Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2008 & Math. Ann., 2011)。这一概念使我们仅需求解一个Riccati型常微分方程，便能极为简洁优美地证明黎曼流形上若干著名泛函不等式（截面曲率有上界）。其中包括Caccioppoli不等式、Hardy型不等式及其改进、谱隙估计、插值不等式以及Ghoussoub-Moradifam型加权不等式的另证。对乘性形式，我们证明了Cartan-Hadamard流形上的尖锐不确定性原理，即Heisenberg-Pauli-Weyl不确定性原理、Hydrogen不确定性原理与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式。文中亦讨论了若干尖锐性与刚性现象。